答案：(1)证明见解析(2)2(3) ①当点D在BC边上时， 的值为n 2 ＋n；②当点D在BC延长线上时， 的值为n 2 －n；③当点D在CB延长线上时， 的值为n－n 2 。 解：(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC， 又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC 。 ∴ ，∴ AB 2 ＝AD·AC。 (2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。 ∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。 又∵ ， ∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC。 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）。 ∴ED＝GD＝ 。 由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴ 。∴ AE＝4DE。∴ 。 又∵CG∥BF，∴ 。 (3) ①当点D在BC边上时， 的值为n 2 ＋n； ②当点D在BC延长线上时， 的值为n 2 －n； ③当点D在CB延长线上时， 的值为n－n 2 。 （1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论。 （2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用（1）的结论即可。 （3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论： ①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。 ∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。 ∴△BDE∽△CDG。∴ 。 又∵ ，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD。 ∴BC=（n＋1）DC，EG= ED。 由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴ 。∴ AE＝ DE。 ∴ 。 又∵CG∥BF，∴ 。 ②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H。 ∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。 ∴△BDE∽△CDH。∴ 又∵ ，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD。 ∴BC=（n－1）DC，EH= ED。 由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴ 。∴ AE＝ DE。 ∴ 。 又∵CH∥BF，∴ 。 ③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I。 ∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。 ∴△BDE∽△CDI。∴ 又∵ ，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID。 ∴BC=（1－n）DC，EI= ED。 由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴ 。∴ AE＝ DE。 ∴ 。 又∵CI∥BF，∴ 。
