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如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB 2 =AP·AD，（Ⅰ）求证：AB=AC；（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。

发布时间：2025-06-22 17:32:12

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答案：（Ⅰ）证明：连接BP， ∵AB 2 =AP·AD， ∴ ，又∵∠BAD=∠PAB， ∴△ABD∽△APB， ∴∠ABC=∠APB， ∵∠ACB=∠APB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB=AC， ∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵P为弧AC的中点， ∴∠ABP=∠PAC= ∠ABC=30°， ∴∠BAP=90°， ∴BP是⊙O的直径，∴BP=2， ∴ ，在Rt△PAB中，由勾股定理得， ∴ 。

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB 2 =AP·AD， （Ⅰ）求证：AB=AC； （Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB 2 =AP·AD，（Ⅰ）求证：AB=AC；（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。