已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项．
已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项．
发布时间：2025-02-02 21:51:49
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答案：（Ⅰ）依题意得an=-2n-2，故a1=-4．又2Tn=6Sn+8n，即Tn=3Sn+4n，∴当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=3（Sn-Sn-1）+4=3an+4=-6n-2．又b1=T1=3S1+4=3a1+4=-8，也适合上式，∴bn=-6n-2（n∈N*）．（Ⅱ）∵cn=bn+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），dn+1=cdn=2dn+1，因此dn+1+1=2（dn+1）（n∈N*）．由于d1=c1=3，∴{dn+1}是首项为d1+1=4，公比为2的等比数列．故dn+1=4×2n-1=2n+1，∴dn=2n+1-1．Dn=（22+23++2n+1）-n=4(2n-1)2-1-n=2n+2-n-4．（Ⅲ）g(dn+12)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)则g(dn+12)dn+1=g(2n)2n+1=2n-1g(2)+2g(2n-1)2n+1=a4+g(2n-1)2n=a4+g(dn-1+12)dn-1+1∴g(dn+12)dn+1-g(dn-1+12)dn-1+1=a4因为已知a为常数，则数列{g(dn+12)dn+1}是等差数列．
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