已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y=3，求实数a的值；（2）若f（x）的值域为[0， ∞），求a的值．
已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y=3，求实数a的值；（2）若f（x）的值域为[0， ∞），求a的值．
发布时间：2025-07-24 10:38:28
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答案：解：（1）求导函数，可得f'（x）=1﹣
∴f'（1）=1﹣a∵曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y=3，∴1﹣a=3∴a=﹣2；（2）f'（x）=1﹣
=
（x＞0）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0， ∞）上单调递增，而f（1）=0∴x∈（0，1）时，f（x）＜0与f（x）≥0恒成立矛盾∴a≤0不合题意当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a， ∞）上单调递增∴f（x）≥f（a）=a﹣1﹣alna=0∴a=1．
∴f'（1）=1﹣a∵曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y=3，∴1﹣a=3∴a=﹣2；（2）f'（x）=1﹣=（x＞0）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0， ∞）上单调递增，而f（1）=0∴x∈（0，1）时，f（x）＜0与f（x）≥0恒成立矛盾∴a≤0不合题意当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a， ∞）上单调递增∴f（x）≥f（a）=a﹣1﹣alna=0∴a=1．
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