[2020年高考全国Ⅰ卷理数]
[2020年高考全国Ⅰ卷理数]
发布时间：2025-12-07 23:01:57
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答案：[解析](1)当a=1时,f(x)=ex x2–x,则
=ex 2x–1.故当x∈(–∞,0)时,
<0;当x∈(0, ∞)时,
>0.所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0, ∞)单调递增.(2)
等价于
.设函数
,则
.(i)若2a 1≤0,即
,则当x∈(0,2)时,
>0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.(ii)若0<2a 1<2,即
,则当x∈(0,2a 1)∪(2, ∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a 1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a 1),(2, ∞)单调递减,在(2a 1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥
.所以当
时,g(x)≤1.(iii)若2a 1≥2,即
,则g(x)≤
.由于
,故由(ii)可得
≤1.故当
时,g(x)≤1.综上,a的取值范围是
.
=ex 2x–1.故当x∈(–∞,0)时,<0;当x∈(0, ∞)时,>0.所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0, ∞)单调递增.(2)等价于.设函数,则.(i)若2a 1≤0,即,则当x∈(0,2)时,>0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.(ii)若0<2a 1<2,即,则当x∈(0,2a 1)∪(2, ∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a 1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a 1),(2, ∞)单调递减,在(2a 1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥.所以当时,g(x)≤1.(iii)若2a 1≥2,即,则g(x)≤.由于,故由(ii)可得≤1.故当时,g(x)≤1.综上,a的取值范围是.
