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（本小题满分16分）已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数。请解答以下问题：（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（2）求证：函数（）为闭函数；（3）若是闭函数，求实数的取值范围．

发布时间：2024-12-09 22:19:27

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答案：（1）函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数； (2) 见解析；（3）．试题分析：（1）因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意，不成立。（2）利用高次函数来分析，利用单调性的定义分析和证明。（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，利用对应相等得到结论。解：（1）函数在区间上单调递减，在上单调递增；---2分所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数---4分 (2) 先证符合条件①：对于任意且，有，，故是上的减函数．又因为在上的值域是。 ---------8分（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根； - -- --- ------11分设为方程的二根，则，解得：的取值范围． --- --- ---16分点评：解决该试题的关键是理解概念，运用函数的单调性和函数的某个区间，是否满足定义域和值域相同得到结论。