答案：证：设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是连通空间。[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]为连续映射，则[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]为连通子集，若[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]多于一点，设[tex=3.286x1.357]b6YQ93iDU6kHyHE6vPPEDQ==[/tex]，由于[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]是离散空间，所以[tex=6.357x1.357]pqxQAPvzYgTCGPzucztIjX5QhabtEUeB+/fEorXnXvA=[/tex]皆为[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的非空开集，且它们无交。这与[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]连通矛盾。故[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]是单点集，即[tex=0.714x1.214]OZevdH6uGNQxcBwPZQ11cg==[/tex]为常值映射。反之，设每一连续映射[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]都是常值映射。若[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]不连通，则存在非空开集[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]，使[tex=8.857x1.214]qfJkadp+zHrTF8OdsC68M3DAZL1EGHd9ON8cxmdGFMK2Q/tOtui2mjppMYF+1bCP[/tex]，定义映射[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iIYOv3o2Ecs6HBfn5r5bgx4=[/tex]，使[tex=10.286x1.357]C1SOPmULzhAIVT/jewwBzu7c/eyn7bMUhm/RaXtOyBOvhBbTLGwxymi1ilwLUnGElBP397ukdI4v535JyfsELQ==[/tex]，其中[tex=3.571x1.214]chyGoJtX9vSy1RwiHo2SnL9V/VGUIfRltrxGH4sTOMA=[/tex]，且[tex=3.071x1.214]1Qf8wzEE6GkalLLVElb85N2+mpVOA26dQC8QeiIvH4U=[/tex]，显然[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为连续映射，但[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为非常值映射，矛盾。因此[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为连通空间。
