设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．
设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．
发布时间：2024-09-14 00:10:22
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答案：[详解A] (用反证法)若不存在ξ∈(a，b)使f(ξ)=0，则在区间[a，b]内恒有f(x)＞0或f(x)＜0．不妨设f(x)＞0(对f(x)＜0，类似可证)，则 [*] 从而f’(a)f’(b))≤0，这与已知条件矛盾，即在(a，b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理，知存在ηA∈(a，ξ)和ηB∈(ξ，b)，使 f’(ηA)=f’(ηB)=0． 又在区间[ηA，ηB]上，对f’(x)应用罗尔定理，知存在η∈(ηA，ηB)[*](a，b)，使f"(η)=0． [详解B] 不妨设f’(a)＞0，f’(b)＞0(对f’(a)＜0，f’(b))＜0时类似可证)，即 [*] 由极限的保号性，知存在xA∈(a，a δA)和xB∈(b-δB,b)，使f(xA)＞0及f(xB)＜0，其中δA，δB为充分小的正数．显然xA＜xB，在区间[xA，xB]上应用中值定理，存在ξ∈xA，xB[*](a，b))，使f(ξ)=0． 以下证明类似详解A．
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