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域的二次扩张[tex=1.929x1.357]V5fpmZb0R7HRGPlXabVmLw==[/tex]必是正规扩张. 试决定一次扩张的 Galois 群.

发布时间：2026-01-16 19:01:57

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答案：设[tex=4.071x1.357]sJ2cOEwly6WkFWVnpASMVA==[/tex], 则[tex=7.071x1.286]L0pidBGrSU99kBt/52QN8GfTvugZ+PQrpxpQo85CXi0=[/tex]. 设[tex=0.5x0.786]++Jb7z2io7X1U6gXsmT9Cg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的极小多项式为[tex=6.714x1.5]orX9ZvLn3+EPWNAqfXEhejwHqB5Gnev9X8i5d/XJVtw=[/tex], 则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的另一根为[tex=3.357x1.357]BtevTWgPMq/ZbNsk2jSbxA==[/tex]. 故[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的分裂域, 从而[tex=1.929x1.357]V5fpmZb0R7HRGPlXabVmLw==[/tex]正规.因[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根(否则[tex=3.5x1.429]77kBfjdnkpW2NUZ9x09UfA==[/tex]. 从而[tex=6.214x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfRgnd3QQJWb+AIOv+ksY9hk=[/tex]. 于是[tex=8.643x1.5]tnF9boLqQ+WrCo+f1WhXGNMyvFGOGek86nImEz6f0Jo=[/tex]可约, 矛盾), 故[tex=4.429x1.357]0pANN1SVkCE/Lw6FMZG+RAkOrYG/0AWu2h1hkKdt7Cg=[/tex]是 2 阶循环群, 其生成元[tex=0.571x0.786]KMF8QHqVjNLkn7nK5uaSag==[/tex]将[tex=0.5x0.786]++Jb7z2io7X1U6gXsmT9Cg==[/tex]送到[tex=3.357x1.357]BtevTWgPMq/ZbNsk2jSbxA==[/tex].